Question

14．若函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＜0}\\{（a-3）x+4a，x≥0}\end{array}\right.$（a＞0，且a≠1）的值域為（-∞，+∞），則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （3，+∞）
• B． （0，$\frac{1}{4}$]
• C． （1，3）
• D． [$\frac{1}{4}$，1）

Answer 1

分析 分別討論a＞3，a=3，1＜a＜3，以及0＜a＜1，然后根據指數函數和一次函數的單調性即可求出f（x）的值域，根據f（x）的值域為（-∞，+∞）即可確定a的取值范圍．

解答 解：①若a＞3，x＜0時，0＜f（x）＜1，x≥0時，f（x）≥4a，此時不滿足f（x）的值域為（-∞，+∞）；
②若a=3，顯然不成立；
③若1＜a＜3，x＜0時，0＜f（x）＜1，x≥0時，f（x）≤4a，不滿足值域（-∞，+∞）；
④若0＜a＜1，x＜0時，f（x）＞1，x≥0時，f（x）≤4a；
要使f（x）的值域為（-∞，+∞），則：4a≥1；
∴$\frac{1}{4}≤a＜1$；
∴實數a的取值范圍是$[\frac{1}{4}，1）$．
故選D．

點評 考查函數值域的概念及求法，分段函數值域的求法，以及指數函數和一次函數的單調性．