Question

3．已知極坐標系的極點與直角坐標系的坐標原點重合、極軸與x軸的正半軸重合，若直線l的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
（1）寫出直線l的參數方程；
（2）設直線l與圓ρ=2相交于A，B兩點，求點P（1，1）到A，B兩點的距離之積．

Answer 1

分析 （1）根據直線l的極坐標方程，求出直線的參數方程．
（2）設A，B對應的參數為t₁和t₂，以直線l的參數方程代入圓的方程整理得到t²+（-3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）t+$\frac{13}{3}$=0，由|PA|•|PB|=|t₁t₂|求出點P到A、B兩點的距離之積．

解答 解：（1）直線l的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，直角坐標方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+tcos\frac{π}{6}}\\{y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數）；
（2）因為點A，B都在直線l上，所以可設它們對應的參數為t₁和t₂，
圓化為直角坐標系的方程   x²+y²=4，
以直線l的參數方程代入圓的方程整理得到 t²+（-3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）t+$\frac{13}{3}$=0  ①，
因為t₁和t₂是方程①的解，從而 t₁t₂=$\frac{13}{3}$．
所以，|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{13}{3}$．

點評 本題考查直線的參數方程以及參數的幾何意義，極坐標方程化為直角坐標方程，利用直線的參數方程中參數的幾何意義是解題的關鍵．