Question

3．三棱ABC-A₁B₁C₁，A₁A⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，且，D為AC中點．
（1）求證：平面BC₁D⊥平面AA₁CC₁
（2）若AA₁=AB=2，求點A到面BC₁D的距離．

Answer 1

分析 （1）面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，要證明平面BC₁D⊥平面AA₁CC₁，只需證BD⊥平面AA₁CC₁即可．
（2）利用體積法求解．${V}_{A-B{C}_{1}D}={V}_{{C}_{1}-ABD}$，A₁A⊥底面ABC，可得高為A₁A．可得點A到面BC₁D的距離

解答 解：（1）∵AA₁⊥面ABC，AA₁⊥BD，△ABC為正三角形，D為AC中點．易得BD⊥AC，
∴BD⊥面AA₁CC₁，又BD?面BC₁D，
∴平面BC₁D⊥平面AA₁CC₁
（2）由題意：AA₁=AB=2，
∵${V}_{A-B{C}_{1}D}={V}_{{C}_{1}-ABD}$，A₁A⊥⊥面ABC，
∴${V}_{{C}_{1}-ABD}$=△ABD×A₁A=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
設(shè)點A到面BC₁D的距離為h，
則：$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{5}×h$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解得：h=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
故得點A到面BC₁D的距離為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直證明和利用體積法求解點到面的距離．屬于中檔題．