Question

9．函數f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$ax²-2x
（Ⅰ）當a=3時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若a＞-1，對任意的a有f（x）-b＜0（x∈（0，1]）恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數的導數，在定義域內討論函數的單調性；
（Ⅱ）lnx-$\frac{1}{2}a{x}^{2}-2x＜b$恒成立，則$b＞{（lnx-\frac{1}{2}a{x^2}-2x）_{max}}$，$h（a）＜h（-1）=\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$，只要$b≥\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f′（x）=\frac{3{x}^{2}+2x-1}{x}..（x＞0）$，..…（2分）
x∈（0，$\frac{1}{3}$）時，f′（x）＞0，f（x）單調增…（4分）
x∈（$\frac{1}{3}$，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調減…（6分）
（Ⅱ）首先，對于任意a∈（-1，+∞），lnx-$\frac{1}{2}a{x}^{2}-2x＜b$恒成立，
則$b＞{（lnx-\frac{1}{2}a{x^2}-2x）_{max}}$…（8分）
因為函數$h（a）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}-2x=-\frac{1}{2}{x^2}a-2x+lnx$在（-1，+∞）上是減函數，
所以$h（a）＜h（-1）=\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$，∴$b≥\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$..…（10分）
其次，對任意的x∈（0，1），不等式$b≥\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$恒成立，
于是b≥（$\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+lnx）_{max}$_max…（12分）
令g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+lnx$，則$g'（x）=x-2+\frac{1}{x}=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}≥0$，所以函數g（x）在（0，1]上是增函數，
于是$g{（x）_{max}}=g（1）=-\frac{3}{2}$，故b$≥-\frac{3}{2}$，即b的取值范圍是[$-\frac{3}{2}，+∞）$…（14分）

點評 此題主要考查利用導數求函數的單調區間，及雙參數恒成立的問題，一般都要換主求函數的最值，此題是一道中檔題．