Question

17．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距為4，設右焦點為F，過原點O的直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AF的中點為M，線段BF的中點為N，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ） 求弦AB的長；
（Ⅱ） 若直線l的斜率為k，且$k≥\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，求橢圓C的長軸長的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得c=2，F（2，0），設出A，B坐標，由中點坐標公式可得M，N的坐標，再由平面向量數量積坐標表示，即可得到所求弦長；
（Ⅱ）設l方程為y=kx，和橢圓方程聯立，解得交點坐標，化簡整理，結合條件，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得c=2，F（2，0），
設$A（{x_0}，{y_0}），則B（-{x_0}，-{y_0}），M（\frac{{{x_0}+2}}{2}，\frac{y_0}{2}），N（\frac{{2-{x_0}}}{2}，\frac{{-{y_0}}}{2}）$…．（2分）
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=1-$\frac{1}{4}$（x₀²+y₀²）=-$\frac{1}{4}$，則$x_0^2+y_0^2=5$，…．（4分）
所以AB的長為2$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$2\sqrt{5}$…（5分）
（Ⅱ）設l方程為y=kx，和橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-4}}=1$，
聯立消元整理得${x_0}^2=\frac{{{a^2}（{a^2}-4）}}{{{a^2}+{a^2}{k^2}-4}}$，${y_0}^2=\frac{{{a^2}（{a^2}-4）{k^2}}}{{{a^2}+{a^2}{k^2}-4}}$，…（7分）
又$x_0^2+y_0^2=5$，則$\frac{{{a^2}（{a^2}-4）（1+{k^2}）}}{{{a^2}+{a^2}{k^2}-4}}=5，{k^2}=\frac{{（{a^2}-5）（{a^2}-4）}}{{{a^2}（9-{a^2}）}}≥\frac{3}{2}$…．（10分）
則$8≤{a^2}＜9，2\sqrt{2}≤a＜3$，
則長軸長范圍是[4$\sqrt{2}$，6）…．（12分）

點評 本題考查橢圓方程應用，考查直線和橢圓方程聯立，解方程求交點，以及解不等式的能力，屬于中檔題．