Question

1．已知函數f（x）=alnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-（a+1）x．
（Ⅰ）當a＞0時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a=-1時，證明$f（x）≥\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數，對 a分類討論，利用導數的正負，可得函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，得到函數的最小值，從而證出結論即可．

解答 解：（Ⅰ）求導數可得f′（x）=$\frac{（x-a）（x-1）}{x}$（x＞0）
（1）0＜a＜1時，令f′（x）＜0，可得a＜x＜1，
∵x＞0，∴a＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＜a或x＞1，
∵x＞0，∴0＜x＜a或x＞1
∴函數f（x）在（0，a），（1，+∞）上單調遞增，在（a，1）上單調遞減；
（2）a=1時，f′（x）≥0，函數在（0，+∞）上單調遞增；
（3）a＞1時，令f′（x）＜0，可得1＜x＜a，
∵x＞0，∴1＜x＜a；
令f′（x）＞0，可得x＞a或x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1或x＞a
∴函數f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調遞增，在（1，a）上單調遞減；
（Ⅱ）a=-1時，f（x）=-lnx+$\frac{{x}^{x}}{2}$，（x＞0），
f′（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴x=1時，f（x）取最小值是f（1）=$\frac{1}{2}$，
故f（x）≥$\frac{1}{2}$成立．

點評 本題考查函數的單調性，考查導數知識的運用，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．