Question

10．已知曲線C上的點到點F（1，0）的距離比它到直線x=-3的距離小2．
（1）求曲線C的方程；
（2）△AOB的一個頂點為曲線C的頂點O，A、B兩點都在曲線C上，且∠AOB=90°，證明直線AB比過一定點．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線的定義求出拋物線的解析式即可；
（2）聯立直線和拋物線構成方程組，結合$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，代入得：n²-4n=0，證出結論即可．

解答 解：（1）∵曲線C上的點到點F（1，0）的距離比它到直線x=-3的距離小2，
即曲線C上的點到點F（1，0）的距離比它到直線x=-1的距離相等，
故曲線C的方程為：y²=4x；
（2）證明設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意設直線AB：x=my+n，
故$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得：y²-4my-4n=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}{+y}_{2}=4m}\\{{y}_{1}{•y}_{2}=-4n}\\{△=1{6m}^{2}+16n＞0}\end{array}\right.$，
∴x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{{{{{y}_{1}}^{2}y}_{2}}^{2}}{16}$=n²，
∠AOB=90°，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
代入得：n²-4n=0，
故n=4時△＞0，
故直線AB過（4，0）．

點評 本題考查了拋物線的定義、性質，考查二次函數的性質以及韋達定理的應用，是一道中檔題．