Question

20．已知F為拋物線C：y²=5x的焦點，點A（3，1），M是拋物線C上的動點，當|MA|+|MF|取最小值$\frac{17}{4}$時，
點M的坐標為（$\frac{1}{5}$，1）．

Answer 1

分析 根據拋物線的定義，將|MA|+|MF|轉化成|MA|+|PM|．由平面幾何知識，可得當P、A、M三點共線時，|MA|+|PM|有最小值．由此即可得到|MA|+|MF|取最小值，進而得到相應的點M的坐標．

解答 解：由題意y²=5x得 F（$\frac{5}{4}$，0），準線方程為 x=-$\frac{5}{4}$，點A（3，1），P（-$\frac{5}{4}$，1）
設點M到準線的距離為d=|PM|，
則由拋物線的定義得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，
故當P、A、M三點共線時，|MF|+|MA|取得最小值為|AP|=3-（-$\frac{5}{4}$）=$\frac{17}{4}$，
再將y=1代入拋物線y²=5x 得 x=$\frac{1}{5}$，故點M的坐標是：（$\frac{1}{5}$，1）．
故答案為：$\frac{17}{4}$，（$\frac{1}{5}$，1）

點評 本題考查拋物線的定義和性質得應用，考查運算求解能力，考查數形結合思想，解答的關鍵利用是拋物線定義，體現了轉化的數學思想．