Question

18．已知函數$f（x）=\frac{x}{lnx}-ax（x＞0$且x≠1）．
（1）當a=0時，求函數f（x）的極小值；
（2）若函數f（x）在（1，+∞）上為減函數，求實數a的最小值；
（3）若?x∈[e，e²]，使f（x）≤$\frac{1}{4}$成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=0代入f（x），求出f（x）的導數，得到函數的單調區間，從而求出函數的極小值即可；
（2）求出函數的導數，得到$-a≤\frac{1}{{{{ln}^2}x}}-\frac{1}{lnx}$，令lnx=t（t＞0），得到$g（t）={（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}$，根據函數的單調性求出a的范圍即可；
（3）法一：通過討論a的范圍，判斷函數f（x）的單調性，從而確定a的范圍即可；法二：通過分離參數法求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當a=0時，$f（x）=\frac{x}{lnx}$$f'（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}＞0$…（1分）x＞e
則f（x）在（0，e）為減函數，在（e，+∞）為增函數，…（3分）
所以f（x）_極小值=f（e）=e…（4分）
（2）∵函數f（x）在（1，+∞）上為減函數，
∴$f'（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}-a≤0$在（1，+∞）上恒成立…（5分）
∴$-a≤\frac{1}{{{{ln}^2}x}}-\frac{1}{lnx}$，令lnx=t（t＞0）…（6分）
$-a≤\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}$，令$g（t）={（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}$
則-a≤g（t）_min…（7分）∴$-a≤-\frac{1}{4}$，則$a≥\frac{1}{4}$…（8分）
所以a的最小值為$\frac{1}{4}$…（9分）
（2）方法一、∵?x∈[e，e²]，使f（x）≤$\frac{1}{4}$成立，
∴$f{（x）_{min}}≤\frac{1}{4}$…（10分）
1°$a≥\frac{1}{4}$，由（1）知f（x）在[e，e²]為減函數，
∴$f{（x）_{min}}=f（{e^2}）=\frac{e^2}{2}-a{e^2}≤\frac{1}{4}$，
∴$a≥\frac{1}{2}-\frac{1}{{4{e^2}}}$…（11分）
2°當$a＜\frac{1}{4}$，$f'（x）=-{（\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{4}-a$，
∵$e≤x≤{e^2}⇒1≤lnx≤2⇒\frac{1}{2}≤\frac{1}{lnx}≤1$$⇒-a≤f'（x）≤\frac{1}{4}-a$…（12分）
①當-a≥0，即a≤0f'（x）≥0在[e，e²]上恒成立，
則f（x）在[e，e²]為增函數，
∴f（x）_min=f（e）=e-ae≤$\frac{1}{4}$
則$a≥1-\frac{1}{4e}$（不合題意）…（13分）
②當$-a＜0⇒0＜a＜\frac{1}{4}$$?{x_0}∈（e，{e^2}），f'（{x_0}）=0$，
則$f（x）在（e，{x_0}）上為減函數，在（{x_0}，{e^2}）上為增函數$，
∴$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）=\frac{x_0}{{ln{x_0}}}-a{x_0}≤\frac{1}{4}$，
∴$a≥\frac{1}{{ln{x_0}}}-\frac{1}{{4{x_0}}}＞\frac{1}{{ln{e^2}}}-\frac{1}{4e}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4e}＞\frac{1}{4}$（不合題意）…（15分）
綜上所述：$a≥\frac{1}{2}-\frac{1}{{4{e^2}}}$…（16分）
方法二、由題意：$?x∈[e，{e^2}]，\frac{x}{lnx}-ax≤\frac{1}{4}$
等價于$?x∈[e，{e^2}]，a≥\frac{1}{lnx}-\frac{1}{4x}$…（10分）
∴$a≥{（\frac{1}{lnx}-\frac{1}{4x}）_{min}}$，x∈[e，e²]…（11分）
令$φ（x）=\frac{1}{lnx}-\frac{1}{4x}$
則$φ'（x）=-\frac{1}{{x{{ln}^2}x}}+\frac{1}{{4{x^2}}}=\frac{{{{ln}^2}x-4x}}{{4{x^2}{{ln}^2}x}}$…（12分）
∵e≤x≤e²⇒1≤lnx≤2⇒1≤ln²x≤44e≤4x≤4e²⇒-4e²≤4x≤-4e，
∴1-4e²≤ln²x-4x≤4-4e＜0，
∴φ'（x）＜0⇒φ（x）在[e，e²]上為減函數，…（14分）
∴$φ{（x）_{min}}=φ（{e^2}）=\frac{1}{{ln{e^2}}}-\frac{1}{4e}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4e}$…（15分）
∴$a≥\frac{1}{2}-\frac{1}{{4{e^2}}}$…（16分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，考查轉化思想以及函數恒成立問題，是一道中檔題．