Question

3．《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．
如圖，在陽馬P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點E，作
EF⊥PB交PB于點F，連接DE，DF，BD，BE．
（1）證明：平面PBD⊥平面DEF．試判斷四面體F-DBE是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；
（2）若平面DEF與平面ABCD所成二面角的大小為60°，求$\frac{DA}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）側棱PD⊥底面ABCD，BC⊥DC，可得BC⊥平面PCD，BC⊥DE．利用等腰三角形的性質可得DE⊥PC．于是DE⊥平面PBC．可得DE⊥PB，可得PB⊥平面DEF．四面體F-DBE是鱉臑．
（2）在平面PBC內，延長BC與FE交與點G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線．由（1）知PB⊥平面DEF，PB⊥DG，PD⊥DG；可得DG⊥平面PBD，故∠BDF是平面DEF與平面ABCD所成二面角的平面角．在Rt△PDB中，利用邊角關系即可證明．

解答 （1）證明：∵側棱PD⊥底面ABCD，BC⊥DC，
∴BC⊥平面PCD，DE?平面PCD．
∴BC⊥DE．
∵PD=CD，E為棱PC的中點，∴DE⊥PC．
又PC∩DC=C，∴DE⊥平面PBC．
∴DE⊥PB，
又PB⊥EF，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面DEF，又PB?平面PBD．
∴平面PBD⊥平面DEF．
∴四面體F-DBE是鱉臑，∠DEF=90°，∠DEB=90°，∠BFD=90°，
∠BFE=90°．
（2）解：在平面PBC內，延長BC與FE交與點G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線．
由（1）知PB⊥平面DEF，∴PB⊥DG，
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DG；而PD∩PB=P，∴DG⊥平面PBD，
故∠BDF是平面DEF與平面ABCD所成二面角的平面角．
設PD=DC=AB=1  DA=BC=x，則BD=$\sqrt{{x^2}+1}$，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPF=∠BDF=60°，
則tan60°=tan∠DPF=$\frac{BD}{PD}$=$\sqrt{{x^2}+1}$=$\sqrt{3}$，解得x=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{DA}{AB}$=x=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了空間位置關系、線面面面垂直的判定與性質定理、空間角、直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．