Question

14．若f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x-lnx（a≠0）在區間[1，2]上是增函數，則實數a的最小值為（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． -2

Answer 1

分析 因為當函數為增函數時，導數大于0，若f（x）在區間[1，2]上是增函數，則f（x）在區間[1，2]上恒大于0，所以只需求導數，令導數大于0，再判斷所得不等式當a為何值時，在區間[1，2]上恒大于0即可

解答 解：由已知，得f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x-lnx，且x＞0，
則f′（x）=ax+2-$\frac{1}{x}$=$\frac{{ax}^{2}+2x-1}{x}$，
若a=0，由f'（x）＞0得x＞$\frac{1}{2}$，顯然符合題意，
若a≠0，∵函數f（x）區間[1，2]是增函數，
∴f'（x）≥0對x∈[1，2]恒成立，即不等式ax²+2x-1≥0對x∈[1，2]恒成立，
即 a≥$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1恒成立   故a≥[（$\frac{1}{x}$-1）²-1]_max，
而當x=2時，函數（$\frac{1}{x}$-1）²-1的最大值為-$\frac{3}{4}$，
∴實數a的最小值是-$\frac{3}{4}$，
故選：C．

點評 本題考查了函數恒成立問題，考查導數的應用以及函數單調性，屬于常規題，必須掌握．