Question

4．已知f（x）=|x-3|-|x-a|
（1）如果f（x）＞-4的解集是R，求實數a的取值范圍；
（2）如果對任意的t∈（0，1），f（x）≤$\frac{1}{t}+\frac{9}{1-t}$對x∈R恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）易知f（x）的最大值=|a-3|，最小值=-|a-3|，故-|a-3|＞-4，即可求實數a的取值范圍；
（2）求出$\frac{1}{t}+\frac{9}{1-t}$的最小值=16，所以|a-3|≤16，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（1）易知f（x）的最大值=|a-3|，最小值=-|a-3|，故-|a-3|＞-4，
所以a∈（-1，7）
（2）$\frac{1}{t}+\frac{9}{1-t}$=（t+1-t）（$\frac{1}{t}+\frac{9}{1-t}$）=10+$\frac{9t}{1-t}$+$\frac{1-t}{t}$≥10+6=16，即$\frac{1}{t}+\frac{9}{1-t}$的最小值=16，
所以|a-3|≤16，故a∈[-13，19]．

點評 本題考查絕對值不等式的性質，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．