Question

9．已知等比數列{a_n}滿足：a₁=$\frac{1}{2}$，a₁，a₂，a₃-$\frac{1}{8}$成等差數列，公比q∈（0，1）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=2na_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用a₁，a₂，a₃-$\frac{1}{8}$成等差數列．建立等量關系式，求出通項公式．；
（2）寫出數列{b_n}的通項公式，然后寫出前n項和的表達式通過錯位相減法求解即可．

解答 解：（1）設等比數列{a_n}公比為q，
∵${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_1}，{a_2}，{a_3}-\frac{1}{8}$成等差數列，
∴$2{a_2}={a_1}+{a_3}-\frac{1}{8}$，即$2{a_1}q={a_1}+{a_1}{q^2}-\frac{1}{8}$，
整理得4q²-8q+3=0，
解得$q=\frac{1}{2}$或$q=\frac{3}{2}$．
又∵q∈（0，1），
∴$q=\frac{1}{2}$，
∴${a_n}=\frac{1}{2}•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}=\frac{1}{2^n}$．
（2）根據題意得b_n=2na_n=$\frac{2n}{2^n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，${S_n}=1+1+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-2}}}}+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，①
$2{S_n}=2+2+\frac{3}{2}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-3}}}}+\frac{n}{{{2^{n-2}}}}$，②
②-①得：${S_n}=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}…+\frac{1}{{{2^{n-2}}}}-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$
=$2+（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}…+\frac{1}{{{2^{n-2}}}}）-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$
=$2+\frac{{1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$
=$4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$．

點評 本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法，數列的前n項和的應用，屬于基礎題型．