Question

20．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點$B（0，\sqrt{3}）$為短軸的一個端點，∠OF₂B=60°．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M．設過點M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=$\sqrt{3}$，運用直角三角形正弦函數可得a=2，進而得到橢圓方程；
（2）設P（x₁，y₁），M（2，y₀），求出A，B坐標，運用三點共線的條件：斜率相等，求得直線m的方程，由恒過定點方法，即可得證．

解答 解：（1）由條件∠OF₂B=60°，
可得|BF₂|=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2，
則$a=2，b=\sqrt{3}$，
故所求橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（ 2 ）證明：設P（x₁，y₁），M（2，y₀），直線l：x=2，
A（-2，0），由A，P，M共線可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=$\frac{{y}_{0}}{4}$，
直線BP的斜率為k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，直線m的斜率為k_m=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
則直線m的方程為y-y₀=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-2），
即y=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-2）+y₀=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-2）+$\frac{4{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$
=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$[（x-2）+$\frac{4{{y}_{1}}^{2}}{4-{{x}_{1}}^{2}}$]
=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$[（x-2）+$\frac{12-3{{x}_{1}}^{2}}{4-{{x}_{1}}^{2}}$]=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x+1），
當x=-1時，y=0．
所以直線m過定點（-1，0）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，以及直線恒過定點的求法，注意運用直線方程和三點共線的條件：斜率相等，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．