Question

10．過三點A（1，3），B（4，2），C（1，-7）的圓M交于y軸于P、Q兩點．
（1）求線段PQ的長；
（2）動圓N的圓心N在直線2x-y+6=0上運動，半徑為10，若圓N與圓M有公共點，求點N橫坐標a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入點的坐標，求出D，E，F，令x=0，即可得出結論．
（2）先求出圓M的圓心和半徑，再設動圓N的圓心N的坐標為（a，b），求出圓心距，根據圓N與圓M有公共點，則R-r≤d≤R+r，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則$\left\{\begin{array}{l}{1+9+D+3E+F=0}\\{16+4+4D+2E+F=0}\\{1+49+D-7E+F=0}\end{array}\right.$，
∴D=-2，E=4，F=-20，
∴x²+y²-2x+4y-20=0，
令x=0，可得y²+4y-20=0，
∴y=-2±2$\sqrt{6}$，
∴|PQ|=4$\sqrt{6}$，
（2）由（1）可得圓M的方程（x-1）²+（y-2）²=25，
則圓M的圓心的坐標為（1，2），半徑為r=5，
設動圓N的圓心N的坐標為（a，b），R=10，
則2a-b+6=0，
即b=2a+6，
∴兩圓的圓心距為d=$\sqrt{（a-1）^{2}+（2a+6-2）^{2}}$，
∵圓N與圓M有公共點，
∴R-r≤d≤R+r，
∴5≤d≤15，
∴25≤（a-1）²+（2a+4）²≤225，
即$\left\{\begin{array}{l}{5{a}^{2}+14a-8≥0}\\{5{a}^{2}+14a-208≤0}\end{array}\right.$，
解得-3-$\sqrt{41}$≤a≤-4，或-2≤a≤-3+$\sqrt{41}$，
故a的取值范圍為[-3-$\sqrt{41}$，-4]∪[-2，-3+$\sqrt{41}$]

點評 本題考查圓的方程，圓與圓的位置關系，考查學生的計算能力，確定圓的方程是關鍵，屬于中檔題．