Question

20．甲、乙兩人玩兒擲骰子游戲，游戲規則規定：若拋擲處的點數不少于3點，則拋擲者得1分，對方得0分，若拋擲出的點數少于3點，則拋擲者得0分，對方得1分，各次拋擲互相獨立，并規定第一次由甲拋擲，第二次由乙拋擲，第三次再由甲拋擲，依次輪換拋擲．
（Ⅰ）求前3次拋擲甲得2分且乙得1分的概率；
（Ⅱ）ξ表示前3此拋擲乙的得分，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設甲第一次拋擲大于等于3點為事件A，乙第一次拋擲大于等于3點為事件B，甲第二次拋擲大于等于3點為事件C，可得P（A）=P（B）=P（C）=$\frac{2}{3}$，P（$\overline{A}$）=P（$\overline{B}$）=P（$\overline{C}$）=$\frac{1}{3}$．再由相互獨立事件的概率求得前3次拋擲甲得2分且乙得1分的概率；
（Ⅱ）由題意求得ξ的取值，進一步求得對應的概率，得到分布列，代入期望公式求得數學期望．

解答 解：（Ⅰ）設甲第一次拋擲大于等于3點為事件A，乙第一次拋擲大于等于3點為事件B，甲第二次拋擲大于等于3點為事件C．
則P（A）=P（B）=P（C）=$\frac{2}{3}$，P（$\overline{A}$）=P（$\overline{B}$）=P（$\overline{C}$）=$\frac{1}{3}$．
前3次拋擲甲得2分且乙得1分包括甲兩次均大于等于3點乙大于等于3點；甲有1次不大于等于3點乙的1次不大于等于3點．
∴前3次拋擲甲得2分且乙得1分的概率P=$（P（A））^{2}P（B）+{C}_{2}^{1}P（A）P（\overline{A}）P（\overline{B}）$=$（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{2}{3}+2×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$；
（Ⅱ）ξ=0、1、2、3．
P（ξ=0）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$，P（ξ=1）=$\frac{4}{9}$，P（ξ=2）=$\frac{1}{3}$，P（ξ=3）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{27}$．
分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4}{27}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{27}$

Eξ=$0×\frac{4}{27}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{1}{3}+3×\frac{2}{27}=\frac{4}{3}$．

點評 本題考查離散型隨機變量的期望與方差，考查了獨立重復試驗與相互獨立事件的概率，是中檔題．