Question

9．如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD=$\sqrt{2}$，DC=SD=2，點M是側棱SC的中點．
（Ⅰ）求異面直線BM與CD所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角S-AM-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線BM與CD所成角．
（Ⅱ）由向量法得到$\overrightarrow{GB}⊥\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{MS}⊥\overrightarrow{AM}$，從而$\left?{\overrightarrow{GB}，\overrightarrow{MS}}\right＞$等于二面角S-AM-B的平面角．由此能出二面角S-AM-B的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標系，
則B（$\sqrt{2}$，2，0），S（0，0，2），C（0，2，0），M（0，1，1），D（0，0，0），
$\overrightarrow{BM}$=（-$\sqrt{2}$，-1，1），$\overrightarrow{CD}$=（0，-2，0），
設異面直線BM與CD所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{2}{2×2}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=60°．
∴異面直線BM與CD所成角為60°．
（Ⅱ）由 $M（0，1，1），A（\sqrt{2}，0，0）$，得AM的中點$G（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
又$\overrightarrow{GB}=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{MS}=（0，-1，1）$，$\overrightarrow{AM}=（-\sqrt{2}，1，1）$，
故$\overrightarrow{GB}•\overrightarrow{AM}=0$，$\overrightarrow{MS}•\overrightarrow{AM}=0$，
即$\overrightarrow{GB}⊥\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{MS}⊥\overrightarrow{AM}$．
因此$\left?{\overrightarrow{GB}，\overrightarrow{MS}}\right＞$等于二面角S-AM-B的平面角．
$cos\left?{\overrightarrow{GB}，\overrightarrow{MS}}\right＞=\frac{{\overrightarrow{GB}•\overrightarrow{MS}}}{{|{\overrightarrow{GB}}||{\overrightarrow{MS}}|}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
所以二面角S-AM-B的余弦值為$-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查二在面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．