Question

17．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E是線段AB上的點，且EB=1，則二面角C-DE-C₁的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 過點C作CF⊥DE于F，連結C₁F，說明∠C₁FC就是二面角C-DE-C₁的平面角，在△C₁FC中，∠C₁CF=90°，求解tan∠C₁FC的值即可．

解答 解：過點C作CF⊥DE于F，連結C₁F，因為DE⊥C₁C，所以DE⊥平面C₁CF，所以C₁F⊥DE，
所以∠C₁FC就是二面角C-DE-C₁的平面角，
在△C₁FC中，∠C₁CF=90°，CF=CDsin45$°=2\sqrt{2}$．
所以tan∠C₁FC=$\frac{C{C}_{1}}{CF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力，轉化思想的應用．