Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=AD，F為PD的中點．
（1）求證：AF⊥平面PDC；
（2）求直線AC與平面PCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知先證明CD⊥平面PAD，可得：CD⊥AF，結合AF⊥PD，可得AF⊥平面PDC；
（2）連接CF，由（1）可知CF是AF在平面PCD內的射影，故∠ACF是AF與平面PCD所成的角，解得答案．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵正方形ABCD中，CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AF，
∵PA=AD，FP=FD
∴AF⊥PD
又∵CD∩PD=D
∴AF⊥平面PDC…（6分）
（2）連接CF

由（1）可知CF是AF在平面PCD內的射影
∴∠ACF是AF與平面PCD所成的角
∵AF⊥平面PDC∴AF⊥FC
在△ACF中，$AC=2\sqrt{2}，CF=\sqrt{C{D^2}+D{F^2}}=\sqrt{6}$
∴$cos∠ACF=\frac{CF}{AC}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}∴∠ACF={30°}$
AF與平面PCD所成的角為30°．…..（12分）

點評 本題考查的知識點是直線與平面所成的角，線面垂直的判定與性質，難度中檔．