Question

8．設f（x）=ax²-bx+6lnx+15，其中a∈R，曲線y=f（x）在x=1和x=6處的切線都與直線$y=-\frac{1}{2}x+3$垂直．
（1）確定a，b的值；
（2）求函數f（x）的單調區間與極值．

Answer 1

分析 （1）首先直接對f（x）求導，利用f'（1）=2，f'（6）=2列出方程組可求出a與b值；
（2）直接利用導函數求出零點判斷原函數的單調性即可，從而可求出最值；

解答 解：（I）因f（x）=ax²-bx+6lnx+15，
所以f'（x）=2ax-b+$\frac{6}{x}$，
由題意得，f'（1）=2，f'（6）=2得$\left\{\begin{array}{l}{2a-b+6=2}\\{12a-b+1=2}\end{array}\right.$，
故a=$\frac{1}{2}$，b=5．
（II）由（1）知，f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-5x+6lnx+15（x＞0），
f′（x）=x-5+$\frac{6}{x}$=$\frac{（x-2）（x-3）}{x}$．
令f′（x）=0，解得x₁=2，x₂=3．
當0＜x＜2或x＞3時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上為增函數；
當2＜x＜3時，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上為減函數．
由此可知f（x）在x=2處取得極大值f（2）=7+6ln 2，
在x=3處取得極小值f（3）=$\frac{9}{2}$+6ln 3．

點評 本題主要考查了利用導函數判斷函數的單調性與求最值，以及導數定義的理解，屬中等題．