Question

17．在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$，PA=PC=2，AC中點為M，cos∠PMB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，則此三棱錐的外接球的表面積為（　　）

• A． $\frac{3π}{2}$
• B． 2π
• C． 6π
• D． $\sqrt{6}$π

Answer 1

分析 利用條件，判斷AB，PB，BC互相垂直，可得三棱錐的外接球的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積．

解答 解：由題意，AC=2，BM=1，PM=$\sqrt{3}$，
∵cos∠PMB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴PB=$\sqrt{2}$，
∴AB，PB，BC互相垂直，
∴三棱錐的外接球的直徑為$\sqrt{6}$，
∴三棱錐的外接球的表面積為$4π•（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}$=6π，
故選C．

點評 本題考查三棱錐的外接球的表面積，考查學生的計算能力，正確求出三棱錐的外接球的直徑是關鍵．