Question

6．已知數列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，T_n為{b_n}的前n項和，若對任意的n∈N^•，不等式λT_n＜n+12（-1）ⁿ恒成立，則實數λ的取值范圍為（-∞，-44）．

Answer 1

分析 由S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$，先求數列{a_n}的通項公式；然后由b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，裂項相消法求得T_n，
①當n為偶數時，要使不等式λT_n＜n+12（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜3n+$\frac{12}{n}$+37恒成立；
②當n為奇數時，要使不等式λT_n＜n+12（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜3n-$\frac{12}{n}$-35恒成立．由此能求了λ的取值范圍．

解答 解：由S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$，知
a_n=S_n+1-S_n=$\frac{3}{2}$（n+1）²-$\frac{n+1}{2}$-（$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$）=3n-2，
即a_n=3n-2，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）．
①當n為偶數時，要使不等式λT_n＜n+12（-1）ⁿ恒成立，即λT_n＜n+12恒成立，所以λ＜3n+$\frac{12}{n}$+37．
因為3n+$\frac{12}{n}$≥12（當且僅當n=2時取“=”），
所以3n+$\frac{12}{n}$+37≥49，
所以λ＜49，
解得λ＜49．
②當n為奇數時，要使不等式λT_n＜n+12（-1）ⁿ恒成立，即λT_n＜n-12恒成立，所以λ＜3n-$\frac{12}{n}$-35
∵3n-$\frac{12}{n}$隨n增大而增大，
∴n=1時，3n-$\frac{12}{n}$取得最小值-9．
∴λ＜-44．
綜合①、②可得λ的取值范圍是λ＜-44．
故答案是：（-∞，-44）．

點評 本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．