Question

14．函數y=2x³+1的圖象與函數y=3x²-b的圖象有三個不相同的交點，則實數b的取值范圍是（　　）

• A． （0，2）
• B． （-2，0）
• C． （0，4）
• D． （-1，0）

Answer 1

分析 設y=f（x）=2x³+1，y=g（x）=3x²-b，根據題意得方程f（x）=g（x）有三個不相等的實數根，進而轉化為b=-2x³+3x²-1，對右邊對應的函數單調性的討論，記F（x）=-2x³+3x²-1然后利用導數工具研究其單調性，得到它的極大值與極小值，最后根據這個極值建立關于字母b的不等式組，解之可得實數b的取值范圍．

解答 解：設y=f（x）=2x³+1，y=g（x）=3x²-b
∵y=2x³+1的圖象與y=3x²-b的圖象有三個不相同的交點，
∴方程f（x）=g（x）有三個不相等的實數根
即：2x³+1=3x²-b⇒b=-2x³+3x²-1
記F（x）=-2x³+3x²-1，得F′（x）=-6x（x-1），
∴F（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞），（-∞，0）上遞減，F（0）取極小，F（1）取極大．
所以方程f（x）=g（x）有三個不相等的實數根的充要條件是：
函數F（x）的極大值大于b，而極小值小于b
∴$\left\{\begin{array}{l}{F（0）=-1＞b}\\{F（1）=0＜b}\end{array}\right.$⇒b∈（-1，0）
故選：D．

點評 本題以多項式函數為載體，考查了方程根的個數知識點，屬于中檔題．從函數圖象聯系到方程的根，利用參數分離研究函數單調性的方法解決，是本題解決的特征．