Question

7．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}4\;|{\;{{log}_2}x\;}|\;\;\;\;\;0＜x＜2\\ \frac{1}{2}{x^2}-5x+12\;\;\;\;\;x≥2\end{array}$，若存在實數a，b，c，d滿足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），若d＞c＞b＞a＞0，則abc（d-4）的取值范圍是（　　）

• A． （8，9）
• B． （8，9]
• C． （12，32）
• D． [12，32）

Answer 1

分析 根據圖象可判斷：$\frac{1}{2}$＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，推出ab的值，利用二次函數的值域，求解表達式的范圍即可．

解答 解：若存在實數a、b、c、d，滿足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0
根據圖象可判斷：$\frac{1}{2}$＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，
由二次函數的對稱性可知c+d=10．
∵f（a）=f（b），可得：-4log₂a=4log₂b，
可得ab=1．
abc（d-4）=c（d-4）=c（6-c）=6c-c²=9-（c-3）²，
∵2＜c＜4，∴c-3∈（-1，1），（c-3）²∈[0，1）
∴9-（c-3）²∈（8，9]．
故選：B．

點評 本題綜合考查了函數圖象的運用，求解兩個圖象的交點問題，運用動的觀點解決，理解好題意是解題關鍵．