Question

12．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2sin²（x-$\frac{π}{12}$）（x∈R）．
（1）化簡并求函數f（x）的最小正周期；
（2）求使函數f（x）取得最大值的x集合．

Answer 1

分析 （1）利用余弦函數的倍角公式以及三角函數的輔助角公式進行化簡即可，
（2）利用三角函數的有界性進行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2sin²（x-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1-cos（2x-$\frac{π}{6}$）
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
則函數的周期T=π．
（2）當sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1，即2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z時，函數取得最大值，
即函數取得最大值的x的集合為{x|x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查三角函數性質的求解，利用三角函數的輔助角公式和倍角公式進行化簡是解決本題的關鍵．