Question

16．數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．若△ABC的頂點A（2，0），B（0，4），且△ABC的歐拉線的方程為x-y+2=0，則頂點C的坐標為（　　）

• A． （-4，0）
• B． （-4，-2）
• C． （-2，2）
• D． （-3，0）

Answer 1

分析 設出點C的坐標，由重心坐標公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯立求得三角形的外心，由外心到兩個頂點的距離相等得另一方程，兩方程聯立求得點C的坐標．

解答 解：設C（m，n），由重心坐標公式得，
三角形ABC的重心為（$\frac{2+m}{3}$，$\frac{4+n}{3}$），
代入歐拉線方程得：$\frac{2+m}{3}$-$\frac{4+n}{3}$+2=0，
整理得：m-n+4=0 ①
AB的中點為（1，2），直線AB的斜率k=$\frac{4-0}{0-2}$=-2，
AB的中垂線方程為y-2=$\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y+3=0．
聯立$\left\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ x-y+2=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\right.$．
∴△ABC的外心為（-1，1）．
則（m+1）²+（n-1）²=3²+1²=10，
整理得：m²+n²+2m-2n=8 ②
聯立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
當m=0，n=4時B，C重合，舍去．
∴頂點C的坐標是（-4，0）．
故選：A

點評 本題考查直線方程的求法，訓練了直線方程的點斜式，考查了方程組的解法．