Question

13．若存在正數a和實數x₀，使得f（x₀+a）=f（x₀）+a成立，則稱區間[x₀，x₀+a]為函數f（x）的“公平增長區間”．則下列四個函數：
①f（x）=2x-1
②f（x）=||x|-1|，
③$f（x）=\sqrt{{x^2}-1}$，
④f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$-x，x∈[1，+∞）
其中有“公平增長區間”的為②④（填出所有正確結論的番號）．

Answer 1

分析 若存在正數a和實數x₀，使得f（x₀+a）=f（x₀）+a成立，則函數圖象上存在兩點連續的斜率為1，進而得到答案．

解答 解：若存在正數a和實數x₀，使得f（x₀+a）=f（x₀）+a成立，
則函數圖象上存在兩點連續的斜率為1，
當f（x）=2x-1時，任兩點連續的斜率均為2，故不存在“公平增長區間”；
當f（x）=||x|-1|時，當x∈[-1，0]∪[1，+∞）時，斜率為1，故存在“公平增長區間”；
當$f（x）=\sqrt{{x^2}-1}$時，$f′（x）=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$∈（-∞，-1）∪（1，+∞），故不存在“公平增長區間”；
當f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$-x，x∈[1，+∞）時，$f′（x）=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$-1∈（0，+∞），故存在“公平增長區間”；
故答案為：②④

點評 本題考查的知識點是新定義函數f（x）的“公平增長區間”，正確理解新定義的含義，是解答的關鍵．