Question

8．某權威機構發布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市成為本年度城市最“幸福城”．隨后，該市某校學生會組織部分同學，用“10分制”隨機調查“陽光”社區人們的幸福度．現從調查人群中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數（以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉）：
（1）指出這組數據的眾數和中位數；
（2）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸福”．求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極幸福”的概率；
（3）以這16人的樣本數據來估計整個社區的總體數據，若從該社區（人數很多）任選3人，記ξ表示抽到“極幸福”的人數，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （1）眾數：8.6； 中位數：$\frac{8.7+8.8}{2}$．
（2）設A_i表示所取3人中有i個人是“極幸福”，至多有1人是“極幸福”記為事件A，則P（A）=P（A₀）+P（A₁）=$\frac{{∁}_{12}^{3}}{{∁}_{16}^{3}}$+$\frac{{∁}_{4}^{1}{∁}_{12}^{2}}{{∁}_{16}^{3}}$．
（3）ξ的可能取值為0，1，2，3．ξ的可能取值為0，1，2，3．則ξ～B$（3，\frac{1}{4}）$，P（ξ）=${∁}_{3}^{k}（\frac{1}{4}）^{k}（\frac{3}{4}）^{3-k}$，（k=0，1，2，3）．即可得出．

解答 解：（1）眾數：8.6；    中位數：$\frac{8.7+8.8}{2}$=8.75．
（2）設A_i表示所取3人中有i個人是“極幸福”，至多有1人是“極幸福”記為事件A，則P（A）=P（A₀）+P（A₁）=$\frac{{∁}_{12}^{3}}{{∁}_{16}^{3}}$+$\frac{{∁}_{4}^{1}{∁}_{12}^{2}}{{∁}_{16}^{3}}$=$\frac{121}{140}$．
（3）ξ的可能取值為0，1，2，3．
ξ的可能取值為0，1，2，3．則ξ～B$（3，\frac{1}{4}）$，P（ξ）=${∁}_{3}^{k}（\frac{1}{4}）^{k}（\frac{3}{4}）^{3-k}$，（k=0，1，2，3）．
∴E（ξ）=$3×\frac{1}{4}$=0.75．

點評 本題考查了莖葉圖及其應用、互斥事件概率計算公式、二項分布列及其概率計算公式及其數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．