Question

18．如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中點．
（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求證：PB∥平面EAC；
（3）求三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出PA⊥CD，AD⊥CD，由此能證明平面PDC⊥平面PAD．
（2）連結BD交AC于O，連結OE，推導出PB∥EO，由此能證明PB∥平面EAC．
（3）由AB=2，BC=4，且底面是矩形，點E到平面ACD的高為1，能求出三棱錐E-ACD的體積．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥CD．…（2分）
又PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD．
又∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD…（4分）
（2）連結BD交AC于O，連結OE
因為E、O分別是PD、BD的中點
所以PB∥EO
所以PB∥平面EAC…（7分）
解：（3）因為AB=2，BC=4，且底面是矩形
所以△ACD的面積為4，…（9分）
因為E是PD的中點，所以點E到平面ACD的高為1
所以V_E-ACD=$\frac{1}{3}×4×1=\frac{4}{3}$．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面平行的證明，考查三椎錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．