Question

3．定義函數F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|）（a，b∈R），設函數f（x）=-x²+2x+4，g（x）=x+2（x∈R）函數F（f（x），g（x））的最大值與零點之和為（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． $4-2\sqrt{5}$
• D． $2\sqrt{5}+2$

Answer 1

分析 確定函數F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|）的含義，表示出G（x）=F（f（x），g（x）），根據一次函數與二次函數的性質可求函數的最大值．

解答 解：∵F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|）=$\left\{\begin{array}{l}{b，a≥b}\\{a，a＜b}\end{array}\right.$，
∴設G（x）=F（f（x），g（x））=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），f（x）≥g（x）}\\{f（x），f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$．
∵當-1≤x≤2時，f（x）≥g（x），此時G（x）=x+2∈[1，4]，
此時函數無零點，此時最大值為4，
當x＞2或x＜-1時，f（x）＜g（x），G（x）=-x²+2x+4=-（x-1）²+3＜4，
綜上可得，函數G（x）的最大值為4，
由G（x）=-x²+2x+4=0，得方程的兩根之和為2，
則函數F（f（x），g（x））的最大值與零點之和為2+4=6，
故選：B．

點評 本題主要考查分段函數的應用，以及函數的最值的求解，解題的關鍵是根據題目中的定義求出函數G（x）的解析式．利用數形結合是解決本題的關鍵．