Question

15．若函數f（x）=|a^x+x²-xlna-t|-1（0＜a＜1）有零點，則實數t的最小值是（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 f（x）有零點?不等式a^x+x²-xlna-t≤1有實數解?t≥a^x+x²-xlna-1有實數解?t≥（a^x+x²-xlna-1）_min，利用導數可求得≥（a^x+x²-xlna-1）_min．

解答 解：函數f（x）=|a^x+x²-xlna-t|-1（0＜a＜1）有零點?不等式a^x+x²-xlna-t≤1有實數解
?t≥a^x+x²-xlna-1有實數解?t≥（a^x+x²-xlna-1）_min，
令g（x）=a^x+x²-xlna-1，則g′（x）=a^xlna+2x-lna，g″（x）=a^xln²a+2＞0，
∴g′（x）為增函數，
而g′（0）=a⁰lna+2×0-lna=0，
∴x＞0時，g′（x）＞g′（0）=0，g（x）為增函數；
當x＜0時，g′（x）＜g′（0）=0，g（x）為減函數；
∴g（x）_min=g（0）=0，
∴t≥0，即實數t的最小值為0．
故選：B．

點評 本題考查函數的零點、函數最值的求解及導數的應用，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力．