Question

6．關于x方程sinx+$\sqrt{3}$cosx+k=0（k∈R）在（0，2π）內有兩個相異的實數解α，β，則 α+β的值為$\frac{π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．

Answer 1

分析 方程有兩個相異的實數解α，β，將其代入，進行化簡，利用和差化積和二倍角的關系求解即可．

解答 解：∵α、β是方程的相異解，sinα+$\sqrt{3}$cosα+k=0…①
sinβ+$\sqrt{3}$cosβ+k=0…②
由①-②得（sinα-sinβ）+$\sqrt{3}$（cosα-cosβ）=0
∴2con（$\frac{α+β}{2}$）sin（$\frac{α-β}{2}$）$+2\sqrt{3}$sin（$\frac{α+β}{2}$）sin（$\frac{α-β}{2}$）=0
∵相異的實數解α，β
∴sin（$\frac{α-β}{2}$）≠0
∴2cos（$\frac{α+β}{2}$）$+2\sqrt{3}$sin（$\frac{α+β}{2}$）=0
即tan（$\frac{α+β}{2}$）=$-\sqrt{3}$
tan（α+β）=$\frac{2tan（\frac{α+β}{2}）}{1-ta{n}^{2}（\frac{α+β}{2}）}$=$\sqrt{3}$
∵α，β∈（0，2π）
∴α+β=$\frac{π}{3}$或$\frac{4π}{3}$
故答案為：$\frac{π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．

點評 本題考察了化簡能力和計算能力，利用了和差化積和二倍角公式求解．屬于中檔題．