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1．用數學歸納法證明（x+1）ⁿ⁺¹+（x+2）^2n-1（n∈N^*）能被x²+3x+3 整除．

分析驗證n=1時命題成立，假設n=k時命題成立，然后利用歸納假設證明n=k+1時命題成立得答案．

解答證明：（1）當n=1時，（x+1）ⁿ⁺¹+（x+2）^2n-1=（x+1）²+（x+2）=x²+3x+3，能被x²+3x+3 整除，命題成立；
（2）假設當n=k時，（x+1）^k+1+（x+2）^2k-1能被x²+3x+3 整除，
那么，當n=k+1時，（x+1）^（k+1）+1+（x+2）^2（k+1）-1=（x+1）（x+1）^k+1+（x+2）²（x+2）^2k-1
=（x+1）（x+1）^k+1+（x+1）（x+2）^2k-1-（x+1）（x+2）^2k-1+（x+2）²（x+2）^2k-1
=（x+1）[（x+1）^k+1+（x+2）^2k-1]+（x²+3x+3）（x+2）^2k-1，
∵（x+1）^k+1+（x+2）^2k-1和x²+3x+3都能被x²+3x+3 整除，
這就是說，當n=k+1時，（x+1）^（k+1）+1+（x+2）^2（k+1）-1也能被x²+3x+3 整除．
根據（1）和（2）可知，命題對任何n∈N*都成立．

點評本題考查利用數學歸納法證明與自然數有關的命題，關鍵是歸納假設的運用，是中檔題．

練習冊系列答案

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