Question

12．已知二階矩陣M有特征值λ=8及其對應的一個特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，并且矩陣M對應的變換將點A（-1，2）變換成A′（-2，4）．
（1）求矩陣M；
（2）設直線l在M^-1對應的變換作用下得到了直線m：x-y=6，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法，建立方程組，即可求矩陣M；
（2）根據矩陣變換特點，寫出兩對坐標之間的關系，把已知的點的坐標代入得到直線的方程，得到結果．

解答 （1）設M=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&p9vv5xb5\end{array}]$，則根據題意有$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&p9vv5xb5\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=8$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+b=8}\\{c+d=8}\end{array}\right.$…（2分）
$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&p9vv5xb5\end{array}]$$[\begin{array}{l}{-1}\\{2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-2}\\{4}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{-a+2b=-2}\\{-c+2d=4}\end{array}\right.$…（4分）
聯立方程解得，M=$[\begin{array}{l}{6}&{2}\\{4}&{4}\end{array}]$，…（6分）
（2）因為直線l在M^-1對應的變換作用下得到了直線m，
所以直線m在M對應的變換作用下得到直線l．…（8分）
所以直線x+y-1=0在矩陣A對應的變換作用下所得曲線的方程為直線x=3．
設點（x，y）為直線m上任意一點，其在M對應變換作用下點為（x′，y′），
$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{6}&{2}\\{4}&{4}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{x′=6x+2y}\\{y′=4x+4y}\end{array}\right.$，…（10分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}x′-\frac{1}{8}y′}\\{y=-\frac{1}{4}x′+\frac{3}{8}y′}\end{array}\right.$…（12分）
代入得：x′-y′=12，所以l方程為直線x-y=12．…（14分）

點評 本題主要考查二階矩陣的變換，考查運算求解能力，比較基礎．