Question

2．直線L：y=mx+1與橢圓C：ax²+y²=2（a＞0）交于A、B兩點，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB．
（1）求證：橢圓C：ax²+y²=2（a＞0）與直線L：y=mx+1總有兩個交點．
（2）當a=2時，求點P的軌跡方程；
（3）是否存在直線L，使OAPB為矩形？若存在，求出此時直線L的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）直線y=mx+1過定點（0，1），且在橢圓的內部，可得結論；
（2）直線y=mx+1過定點（0，1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則OP的中點M為（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$），且有2x₁²+y₁²=2，2x₂²+y₂²=2，由此能求出點P的軌跡方程．
（3）假設存在直線l，使OAPB為矩形．由于OA⊥OB，則有x₁x₂+y₁y₂=0，運用韋達定理及點在直線上滿足直線方程，化簡整理得到的方程，解出m，注意檢驗判別式是否大于0．

解答 （1）證明：直線y=mx+1過定點（0，1），且在橢圓的內部，
∴橢圓C：ax²+y²=2（a＞0）與直線L：y=mx+1總有兩個交點．
（2）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則OP的中點M為（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$），
且有2x₁²+y₁²=2，2x₂²+y₂²=2，
以上兩式相減，得k_AB•k_OP=-2，
∴$\frac{\frac{y}{2}-1}{\frac{x}{2}}•\frac{y}{x}$=-2，
∴2x²+y²-2y=0，
點P的軌跡方程為2x²+（y-1）²=1（除去原點）．
（3）解：由直線與橢圓聯立，得（a+m²）x²+2mx-1=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2m}{a+{m}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{1}{a+{m}^{2}}$，
y₁y₂=（mx₁+1）（mx₂+1）=m²x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=$\frac{a-2{m}^{2}}{a+{m}^{2}}$，
由于OA⊥OB，則有x₁x₂+y₁y₂=0，即為-$\frac{1}{a+{m}^{2}}$+$\frac{a-2{m}^{2}}{a+{m}^{2}}$=0，
解得，a=2m²-1．
檢驗：判別式△＞0，成立．
故存在直線l：y=±$\sqrt{\frac{a+1}{2}}$（x+1），使OAPB為矩形．

點評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．