Question

11．已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=2，a_na_n+1=2（S_n+1）（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b₁=1，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}\sqrt{{a}_{n-1}}+{a}_{n-1}\sqrt{{a}_{n}}}$（n≥2，n∈N^*），數列{b_n}前n項和為T_n；
（3）若數列{c_n}滿足lgc₁=$\frac{1}{3}$，lgc_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n}}$（n≥2，n∈N^*），試問是否存在正整數p，q，（其中1＜p＜q），使c₁，c_p，c_q成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的數組（p，q），若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用數列遞推關系，可得數列{a_n}是以2為首項，2為公差的等差數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知a_n=n+1，利用裂項法可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}\sqrt{{a}_{n-1}}+{a}_{n-1}\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$（n≥2，n∈N^*），各項累加即可求得數列{b_n}前n項和為T_n；
（3）假設存在正整數p，q，（其中1＜p＜q），使c₁，c_p，c_q成等比數列，則lgc₁，lgc_p，lgc_q成等差數列，依題意，可求得存在唯一正整數數對（p，q）=（2，3），使b₁，b_p，b_q成等比數列．

解答 解：（1）因為a_na_n+1=2（S_n+1）①，
所以，a_n-1a_n=2（S_n-1+1）（n≥2）②，
①-②得：a_n（a_n+1-a_n-1）=2a_n（n≥2），又a_n＞0，
所以，a_n+1-a_n-1=2，即數列{a_n}的奇數項與偶數項均構成以2為公差的等差數列．
又a₁=2，a₁a₂=2（S₁+1），解得a₂=3，又a₃=4，2a₂=a₁+a₃，
故數列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數列，a_n=n+1．
（2）由于b_n=$\frac{1}{{a}_{n}\sqrt{{a}_{n-1}}+{a}_{n-1}\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{（n+1）n}（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n（n+1）}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$（n≥2），b₁=1，
因此T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1+（$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$）+（$\frac{1}{\sqrt{3}}$-$\frac{1}{2}$）+…+（$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$．
（3）假設存在正整數數組（p，q），使c₁，c_p，c_q成等比數列，
則lgc₁，lgc_p，lgc_q成等差數列，
于是，$\frac{2p}{{3}^{p}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{q}{{3}^{q}}$，所以，q=3q（$\frac{2p}{{3}^{p}}$-$\frac{1}{3}$）（☆）．易知（p，q）=（2，3）為方程（☆）的一組解．    
當p≥3，且p∈N*時，$\frac{2（p+1）}{{3}^{p+1}}$-$\frac{2p}{{3}^{p}}$=$\frac{2-4p}{{3}^{p+1}}$＜0，故數列{$\frac{2p}{{3}^{p}}$}（p≥3）為遞減數列，
于是$\frac{2p}{{3}^{p}}$-$\frac{1}{3}$≤$\frac{2×3}{{3}^{3}}$-$\frac{1}{3}$＜0，所以此時方程（☆）無正整數解．      
綜上，存在唯一正整數數對（p，q）=（2，3），使b₁，b_p，b_q成等比數列．

點評 本題考查數列的求和與數列遞推關系的應用，考查等差數列與等比數列的判定與通項公式的求法，突出裂項法求和，考查推理與運算能力、邏輯思維能力的綜合運用，屬于難題．