Question

【題目】在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖所示的三角形（楊輝三角）解釋了二項(xiàng)和的乘方規(guī)律．右邊的數(shù)字三角形可以看作當(dāng)n依次取0，1，2，3，…時(shí)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，相鄰兩斜線間各數(shù)的和組成數(shù)列．例：，，，…．

（1）寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式（結(jié)果用組合數(shù)表示），無需證明；

（2）猜想，與的大小關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明詳見解析．

【解析】

（1）根據(jù)圖形可直接歸納出結(jié)論；

（2）先證明，猜想：，利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式即可.

（1）

（2）先證明一個(gè)事實(shí)：對(duì)任意的，都有

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

．

所以對(duì)任意的，都有

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

猜想

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)時(shí)，成立．

假設(shè)當(dāng)時(shí)，

成立，

那么當(dāng)時(shí)

．

所以當(dāng)時(shí)．命題也成立．

綜上，對(duì)任意的，成立．