Question

【題目】如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長均為6，正方形ABCD的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AD，BC平行于x軸，AB、CD平行于y軸，頂點(diǎn)P在z軸的正半軸上，點(diǎn)M、N分別在PA，BD上，且.

（1）若，求直線MN與PC所成角的大小；

（2）若二面角A-PN-D的平面角的余弦值為，求λ的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

寫出圖中各點(diǎn)坐標(biāo)，

（1）求出向量，，由向量夾角得出異面直線所成的角；

（2）求出平面和平面的法向量，由法向量夾角的余弦值的絕對值等于已知二面角的余弦值可求得．

依題意知，，，，.

設(shè)，.

由，知，，

即，

且，

所以，，，

，，，

從而，.

（1）若，則，，

所以，

所以.

又因，

所以，

故直線MN與PC所成角的大小為.

（2）連結(jié)AC，易知平面PBD.

而，

故平面PBD的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面PAN的一個(gè)法向量為，

則.

又因?yàn)?/span>，

所以

不妨取，則，，

所以.

因?yàn)槎�面�?/span>A-PN-D的平面角的余弦值為.

所以

整理得，解得或.