Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的夾角為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由條件可以求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=3$，從而根據向量夾角余弦的計算公式即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}＞$的值，從而得出向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的夾角．

解答 解：根據條件：
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$
=$\sqrt{4-2+1}$
=$\sqrt{3}$；
$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=4-1=3$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
又$0≤＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}＞≤π$；
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{π}{6}$．
故選：A．

點評 考查向量數量積的運算，根據$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$求$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的方法，以及向量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍．