Question

1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且$2bcosA-\sqrt{3}ccosA=\sqrt{3}acosC$．
（1）求角A的值；
（2）若$∠B=\frac{π}{6}$，BC邊上中線$AM=\sqrt{7}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，兩角和的正弦函數公式可得2sinBcosA=$\sqrt{3}$sinB，結合sinB≠0可求$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，結合范圍0＜A＜π，即可得解A的值．
（2）由已知及三角形內角和定理可求C，進而利用余弦定理可求b的值，根據三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵$2bcosA-\sqrt{3}ccosA=\sqrt{3}acosC$，
由正弦定理，得$2sinBcosA-\sqrt{3}sinCcosA=\sqrt{3}sinAcosC$，
∴2sinBcosA=$\sqrt{3}$sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinB，
∵sinB≠0，
∴$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{6}$．
（2）∵$∠B=\frac{π}{6}$，
∴$C=π-A-B=\frac{2π}{3}$，可知△ABC為等腰三角形，
∵在△ABC中，由余弦定理，得AM²=AC²+MC²-2AC•MCcos120°，即$7={b^2}+{（\frac{b}{2}）^2}-2×b×\frac{b}{2}×cos120°$，
∴b=2，
∴△ABC的面積$S=\frac{1}{2}{b^2}sinC=\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．