Question

18．已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點到左頂點的距離為3．
（1）、求橢圓的方程；
（2）、直線l過點E（-1，0）且與橢圓交于A，B兩點，若$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：焦點在x軸上，橢圓的方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，a+c=3，解得：a與c，則b²=a²-c²=3，即可求得橢圓的方程；
（2）當l為x軸時，可得A（-2，0），B（2，0），$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{EB}$，不合題意，設l：x=my-1，代入橢圓方程，由韋達定理可知：${y_1}+{y_2}=\frac{6m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$，由$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}$，y₁=-2y₂，代入即可求得$m=±\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，求得直線l的方程．

解答 解：（1）由題意可知：焦點在x軸上，橢圓的方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，
由右焦點到左頂點的距離為3，a+c=3，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ c=1\end{array}\right.$，
∴b²=a²-c²=3…（4分）
∴橢圓的方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（5分）
（2）當l為x軸時，可得A（-2，0），B（2，0），
則$\overrightarrow{AE}$=（1，0），$\overrightarrow{EB}$=（3，0），
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{EB}$，不合題意，
當斜率不為0時，設l：x=my-1，則由$\left\{\begin{array}{l}x=my-1\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$，整理得（3m²+4）y²-6my-9=0…（7分）
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由韋達定理可知：${y_1}+{y_2}=\frac{6m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$，…（8分）
由$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}$，
∴y₁=-2y₂，消去y₁，y₂，整理得：$\frac{{72{m^2}}}{{3{m^2}+4}}=9$，
∴$m=±\frac{2}{{\sqrt{5}}}$…（11分）
∴l的方程為：$\sqrt{5}x+2y+\sqrt{5}=0$或$\sqrt{5}x-2y+\sqrt{5}=0$…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及向量共線定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題．