Question

17．已知函數f（x）=|x-1|．
（1）解關于x的不等式f（x）＞2；
（2）若對任意x∈R，不等式f（x）+|x|＞2|a|恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|x-1|＞2，故有x-1＞2，或x-1＜-2，由此求得原不等式的解集．
（2）由于若對任意x∈R，|x-1|+|x|＞2|a|恒成立，利用絕對值三角不等式求得|x-1|+|x|的最小值，可得|a|的范圍，從而求得實數a的取值范圍．

解答 解：（1）根據函數f（x）=|x-1|，關于x的不等式f（x）＞2，即|x-1|＞2，
∴x-1＞2，或x-1＜-2，∴x＞3，或x＜-1，故原不等式的解集為{x|x＞3，或x＜-1}．
（2）若對任意x∈R，不等式f（x）+|x|＞2|a|恒成立，則|x-1|+|x|＞|2a|．
由于|x-1|+|x|≥|x-1-x|=1，∴1＞2|a|，即|a|＜$\frac{1}{2}$，∴-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，屬于基礎題．