Question

2．一個口袋裝有5個紅球，3個白球，這些球除顏色外完全相同，某人一次從中摸出3個球，其中紅球的個數為X．
（1）求摸出的三個球中既有紅球又有白球的概率；
（2）求X的分布列及X的數學期望．（E（X）=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n）

Answer 1

分析 （1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件是從8個球中摸出3個，共有C₈³種結果，滿足條件的事件是摸出的三個球中既有紅球又有白球，共有C₅¹C₃²+C₅²C₃¹，做出概率．
（2）由題意知變量X的可能取值是0，1，2，3，結合變量對應的事件，利用等可能事件的概率公式寫出變量的概率，寫出分布列和期望．

解答 解：（1）記“摸出的三個球中既有紅球又有白球”為事件A，
由題意知，$P（A）=\frac{C_5^1C_3^2+C_5^2C_3^1}{C_8^3}=\frac{45}{56}$，
∴摸出的三個球中既有紅球又有白球的概率$\frac{45}{56}$；
（2）X的可能取值是0，1，2，3，
$P（X=0）=\frac{C_5^0C_3^3}{C_8^3}=\frac{1}{56}$，$P（X=1）=\frac{C_5^1C_3^2}{C_8^3}=\frac{15}{56}$，
$P（X=2）=\frac{C_5^2C_3^1}{C_8^3}=\frac{30}{56}$，$P（X=3）=\frac{C_5^3C_3^0}{C_8^3}=\frac{10}{56}$
∴X的分布列是

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{56}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{30}{56}$	$\frac{10}{56}$

∴X的數學期望是E（X）=$0×\frac{1}{56}+1×\frac{15}{56}+2×\frac{30}{56}+3×\frac{10}{56}=\frac{15}{8}$．

點評 本題考查等可能事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，是一個近幾年高考題目中經常出現的問題，只要注意解題的格式，就沒有問題．