Question

11．已知a，b，c為圓O上的三點，若$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=4，則|$\overrightarrow{AO}$|=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由題意和向量的運算可得BC為圓O的直徑，進而由直徑所對的圓周角為直角，即可求出半徑．

解答 解：∵A，B，C是圓O上的三點，$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴根據向量加法的運算，幾何意義得出O為BC的中點，
即BC為圓O的直徑，
∴圓周角∠CAB=90°
∴$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的夾角為90°
∵|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=4，
∴|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴|$\overrightarrow{AO}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BC}$|=$\frac{5}{2}$，
故答案為：$\frac{5}{2}$

點評 本題考查向量的夾角，涉及圓的知識，屬基礎題．