Question

12．將邊長分別為1、2、3、4、…、n、n+1、…（n∈N^*）的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形．由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第1個、第2個、…、第n個陰影部分圖形．設前n個陰影部分圖形的面積的平均值為f（n）．記數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}f（n）\;\;當n為奇數\\ f（{a_n}）當n為偶數\end{array}$．
（1）求f（n）的表達式；
（2）寫出a₂、a₃的值，并求數列{a_n}的通項公式．
（3）記$|\begin{array}{l}{a}&\\{c}&p9vv5xb5\end{array}|$=ad-bc．若b_n=a_n+s（s∈R），且$|\begin{array}{l}{_{n}}&{_{n+2}}\\{_{n+1}}&{_{n+1}}\end{array}|$＜0恒成立，求s的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出第1個陰影部分圖形的面積為2²-1²，第2個陰影部分圖形的面積為4²-3²，…，第n個陰影部分圖形的面積為（2n）²-（2n-1）²．然后求解f（n）即可．
（2）利用a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}f（n）\;\;當n為奇數\\ f（{a_n}）當n為偶數\end{array}$．通過n為偶數時，n為大于1的奇數時，求解數列的通項公式a_n．
（3）由（2）知 b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1+s，n=1}\\{2n-1+s，n為偶數}\\{4n-5+s，n為大于1的奇數}\end{array}\right.$，利用行列式轉化$|\begin{array}{l}{_{n}}&{_{n+2}}\\{_{n+1}}&{_{n+1}}\end{array}|$＜0恒成立?b_n+1b_n-b_n+1b_n+2=b_n+1（b_n-b_n+2）＜0恒成立，通過（ⅰ） 當n=1時，推出s＞-3，（ⅱ）當n為偶數時，推出 s＞-7  （ⅲ）當n為大于1的奇數時，s＞-7 推出結果．

解答 （本題滿分10分）本題共有3個小題，第1小題滿分（2分），第2小題滿分（3分），第2小題滿分（5分）．
解：（1）由題意，第1個陰影部分圖形的面積為2²-1²，第2個陰影部分圖形的面積為4²-3²，…，第n個陰影部分圖形的面積為（2n）²-（2n-1）²．
故f（n）=$\frac{（{2}^{2}-{1}^{2}）+（{4}^{2}-{3}^{2}）+…+[（2n）^{2}-（2n-1）^{2}]}{n}$=$\frac{1+2+3+4+…+（2n-1）+2n}{n}$=2n+1   （2分）
（2）a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}f（n）\;\;當n為奇數\\ f（{a_n}）當n為偶數\end{array}$．
a₁=1，a₂=f（1）=3，a₃=f（a₂）=2×3+1=7   （3分）
當n為偶數時，a_n=f（n-1）=2n-1   （4分）
當n為大于1的奇數時，a_n=f（a_n-1）=2a_n-1+1=2[2（2n-1）-1]+1=4n-5
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-1，n為偶數}\\{4n-5，n為大于1的奇數}\end{array}\right.$（5分）
（3）由（2）知 b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1+s，n=1}\\{2n-1+s，n為偶數}\\{4n-5+s，n為大于1的奇數}\end{array}\right.$   （6分）
又$|\begin{array}{l}{_{n}}&{_{n+2}}\\{_{n+1}}&{_{n+1}}\end{array}|$＜0恒成立?b_n+1b_n-b_n+1b_n+2=b_n+1（b_n-b_n+2）＜0恒成立
（�。� 當n=1時，b_n+1（b_n-b_n+2）＜0恒成立，
即b₂（b₁-b₃）=（3+s）（-6）＜0恒成立，于是3+s＞0⇒s＞-3  （7分）
（ⅱ）當n為偶數時，b_n+1（b_n-b_n+2）＜0恒成立，
即[4（n+1）-5+s]-[（2n-1+s）-（2（n+2）-1+s）]=（4n-1+s）（-4）＜0恒成立，于是4n-1+s＞0恒成立，
 s＞（-4n+1）_min=-7  （8分）
（ⅲ）當n為大于1的奇數時，b_n+1（b_n-b_n+2）＜0恒成立
即[2（n+1）-1+s]-[（4n-5+s）-（4（n+2）-5+s）]=（2n+1+s）（-8）＜0 恒成立，于是2n+1+s＞0恒成立，
s＞（-2n-1）_min=-7  （9分）
綜上所述：s＞-3．（10分）

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，數列求和以及數列通項公式的求法，函數與函數的綜合應用，考查計算能力．