Question

17．已知直線3x+4y+17=0與圓x²+y²-4x+4y-17=0相交于A，B，則|AB|=8．

Answer 1

分析 把圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標和圓的半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離d，由求出的d與半徑r，根據垂徑定理與勾股定理求出|AB|的一半，即可得到|AB|的長．

解答 解：把圓的方程化為標準方程得：（x-2）²+（y+2）²=25，
∴圓心坐標為（2，-2），半徑r=5，
∴圓心到直線3x+4y+17=0的距離d=$\frac{|6-8+17|}{\sqrt{9+16}}$=3
則|AB|=2$\sqrt{25-9}$=8．
故答案為：8．

點評 此題考查了直線與圓相交的性質，勾股定理以及垂徑定理，考查了數形結合的思想．當直線與圓相交時，常常過圓心作直線的垂直，由弦心距、圓的半徑以及弦長得一半構造直角三角形，借助圖形，利用勾股定理求出直線被圓所截得弦的長度．