Question

4．已知M是關于x的不等式2x²+（3a-7）x+3+a-2a²＜0解集，且M中的一個元素是0，求實數a的取值范圍，并用a表示出該不等式的解集．

Answer 1

分析 根據原不等式即（2x-a-1）（x+2a-3）＜0，有一個元素是x=0，帶入不等式，求出a的范圍．對a討論，表示出該不等式的解集．

解答 解：不等式2x²+（3a-7）x+3+a-2a²＜0，因式分解，可得（2x-a-1）（x+2a-3）＜0，
由方程（2x-a-1）（x+2a-3）=0，可得兩個根分別為：x₁=$\frac{a+1}{2}$，x₂=3-2a．
由x=0適合不等式，
故得（a+1）（2a-3）＞0，
∴a＜-1，或a＞$\frac{3}{2}$．
若a＜-1，x₁＜x₂，此時不等式的解集為{x|$\frac{a+1}{2}$＜x＜3-2a}．
若a＞$\frac{3}{2}$，x₁＞x₂，此時不等式的解集為{x|$\frac{a+1}{2}$＞x＞3-2a}．
（提示：利用作差比較x₁，x₂的大小）

點評 本題主要考查了一元二次不等式的應用，以及根與系數的關系，同時考查了分析求解的能力和計算能力，屬于中檔題．