Question

10．如圖，四棱錐S-ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．
（1）求證：SA⊥BD；
（2）若∠BCD=120°，M為棱SA的中點，求證：DM∥平面SBC．

Answer 1

分析 （1）根據線面垂直以及線段的垂直平分線的性質證明即可；
（2）由線線平行到面面平行從而推出線面平行即可．

解答 證明：如圖示：
（1）設BD中點為O，連接OC，OE，則由BC=CD知，CO⊥BD，
又已知SC⊥BD，SC⊥CO=C，所以BD⊥平面SOC，
∵△ABD是正三角形，∴AO是BD的中垂線，
故A、O、C在同一直線上，
故平面SAC即平面SOC，
由BD⊥OC，BD⊥SC，得BD⊥平面SAC，
故SA⊥BD；
（2）取AB中點N，連接DM，MN，DN，
∵M是SA的中點，∴MN∥BE，
∵△ABD是正三解形，∴DN⊥AB，
∵∠BCD=120°得∠CBD=30°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，
所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BSC，
故DM∥平面SBC．

點評 本題考查了線面、面面、線線平行的判定定理，考查看圖能力，是一道中檔題．