Question

12．（1）求值C${\;}_{n}^{5-n}$+C${\;}_{n+1}^{9-n}$；
（2）已知$\frac{1}{{C}_{5}^{m}}$-$\frac{1}{{C}_{6}^{m}}$=$\frac{7}{10{C}_{7}^{m}}$，求C${\;}_{8}^{m}$．

Answer 1

分析 （1）根據題意列出關于n的不等式組，求出n的值，再求組合數C${\;}_{n}^{5-n}$+C${\;}_{n+1}^{9-n}$的值；
（2）由組合數公式，化簡等式解方程求出m的值，再計算組合數C${\;}_{8}^{m}$．

解答 解：（1）根據題意，$\left\{\begin{array}{l}{0≤5-n≤n}\\{0≤9-n≤n+1}\\{n{∈N}^{*}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{4≤n≤5}\\{n{∈N}^{*}}\end{array}\right.$，
∴n=4或n=5；
當n=4時，C${\;}_{n}^{5-n}$+C${\;}_{n+1}^{9-n}$=${C}_{4}^{1}$+${C}_{5}^{5}$=5；
當n=5時，C${\;}_{n}^{5-n}$+C${\;}_{n+1}^{9-n}$=${C}_{5}^{0}$+${C}_{6}^{4}$=16；
（2）由$\frac{1}{{C}_{5}^{m}}$-$\frac{1}{{C}_{6}^{m}}$=$\frac{7}{10{C}_{7}^{m}}$得，
$\frac{m!•（5-m）!}{5!}$-$\frac{m!•（6-m）!}{6!}$=$\frac{7•m!•（7-m）!}{10•7!}$，
化簡得m²-23m+42=0，
解得m=2或21；
又5-m≥0，解得0≤m≤5，
∴只取m=2；
∴C${\;}_{8}^{m}$=${C}_{8}^{2}$=28．

點評 本題主要考查了組合數的性質與應用問題，也考查了解方程的問題，是綜合題．