Question

12．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，$∠DAB=\frac{π}{3}$，PD⊥底面ABCD，AB=PD=a，P、B、C、D，四點能否在一個球面上（不要證明）；
（1）求異面直線PA與CD成角的余弦值；
（2）求三棱錐ABCP的體積．

Answer 1

分析 （1）根據異面直線所成角的定義進行轉化，結合三角形的余弦定理進行求解即可．
（2）求出三棱錐的高和底面積，結合三棱錐的體積公式進行求解即可．

解答 解：（1）∵底面ABCD為菱形，$∠DAB=\frac{π}{3}$，PD⊥底面ABCD，AB=PD=a，
∴連接BD，則BD=a，
即PD=BD=CD=a，
即、B、C、D，四點可以在一個球面上，其中D為球心，PD的長為半徑．
∵PD⊥底面ABCD，AB=PD=a，
∴PA=$\sqrt{2}$a，PB=$\sqrt{2}$a，
∵AB∥CD，
∴PA與AB所成的角即可異面直線PA與CD成的角，
在三角形PAB中，cos∠PAB=$\frac{P{A}^{2}+A{B}^{2}-P{B}^{2}}{2PA•AB}$
=$\frac{2{a}^{2}+{a}^{2}-2{a}^{2}}{2×\sqrt{2}a•a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即異面直線PA與CD成角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（2）∵PD⊥底面ABCD，
∴三棱錐ABCP的高為PD=a，
∵底面ABCD為菱形，$∠DAB=\frac{π}{3}$，AB=a，
∴OB=$\frac{1}{2}$a，OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
則AC=2OA=$\sqrt{3}$a，
則三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}AC•OB$=$\frac{1}{2}•\sqrt{3}a•\frac{1}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
則三棱錐ABCP的體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a×a=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²．

點評 本題主要考查異面直線所成角的求解以及三棱錐體積的計算，根據異面直線所成角的定義以及三棱錐的體積公式是解決本題的關鍵．